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第14部分（第2页）

这里面，竖的是起点站，横的是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1。5，它的横坐标是a，表明从a站出发。它的纵坐标是c，表明到c站下车。那么，只要某个乘客真正从a站坐到了c站，他就可以证实这个数字是正确的：这个旅途的确需要1。5块车费。

好吧，某些读者可能已经不耐烦了，它们的确是两种不同类型的东西，可是，这种区别的意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收费规则吗？但事情要比我们想象的复杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从a到b”和“从b到a”，所需的钱是一样的。事实也许并非如此，从a到b要1块钱，从b回到a却很可能要1。5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是简洁明了的：只要修改b为横坐标a为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。

更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。

在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以灵敏地分辨出各种不同的声音，即使这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出cd音乐中乐手翻动乐谱的细微沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐波。大家可能要感叹，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守门员抱住飞来的足球，从数学上说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无数风险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的数学能力所导致。

回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。

这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系列简谐运动的叠加。在这个展开式里的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底地改造成最新的矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘起来，现在海森堡把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？

这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？

或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？

为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡制定的车费表：矩阵i和矩阵ii，分别代表了巴士i号线和巴士ii号线在某地的收费情况。

为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，a和b。这两个表如下：i号线（矩阵i）：

ab

a12

b31

ii号线（矩阵ii）：

ab

a13

b41

好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵i第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士i号线，从a地出发，在a地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵i第一

行第二列的那个2是说，你坐i号线从a地到b地，需要2块钱。但是，如果从b地回到a地，

那么就要看横坐标是b而纵坐标是a的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵ii的情况同样如此。

好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字，而是两张表格：i和ii。i×ii等于几？

让我们把习题完整地写出来。现在，boysandgirls，这道题目的答案是什么呢？

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┃12┃┃13┃

┃31┃×┃41┃=？

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饭后闲话：男孩物理学

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